13 марта прошел Усложненный вариант Турнира Городов. Собственно нас с вами интересует геометрия за номером пять.
Дан остроугольный треугольник АВС; АА1, ВВ1 - его высоты. Из точки А1 опустили перпендикуляры на стороны АС и АВ, а из точки В1 опустили перпендикуляры на стороны ВС и ВА. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.
Доказывать будем, что А2В2А4В4(зелененькая) - равнобокая трапеция.
1) А2В2 || А4В4.
Давайте посмотрим на треугольник СА1В1: это треугольник, образованный основаниями высот и с вершиной треугольника. Заметим, что:
СВ1/СВ=cosC=CА1/СА, что равносильно:
СВ1/СА1=СА/СВ.
Значит, треугольник А1В1С подобен АВС, только углы А и В как бы поменяли местами. А теперь взглянем на треугольник А2В2С. Это треугольник вида "2 основания высот и вершина" для треугольника А1В1С. В нем углы А1 и В1 поменяли местами, то есть углы А и В встали на свои места. То есть углы В2А2С и ВАС равны. Отсюда чтд.
2) А2В4=В2А4
Докажем не это равенство, а равенство проекций этих отрезков на АВ. Т.е. А4В3=А3В4.
Суть следующая:
А4В3 В2А1 В1Н А3В4 В1А2 А1Н
------ = ------- = ------ ; и ------ = ------- = ------ ;
А4В А1В ВН В4А В1А АН
Поделим первое на второе:
А4В3 В4А В1Н АН
------ * ------- = ------ * ------ ;
А4В4 А4В ВН А1Н
Заметим, что треугольники АНВ1 и ВНА1. Тогда правая часть равна (АВ1/А1В)^2 (так будем обозначать степень выражения - нет надстрочного шрифта в блоггере).
А4В3 ВА4 В1А АВ1 ВА4 В1А АВ1 1 АВ*cos A
------ = ------- * ------ * ------ = ------ * ------ * ------ = cos B * ------ * -------------- = 1;
А4В4 АВ4 ВА1 А1В А1В АВ4 А1В cos A АВ*cos B
Ура, мы доказали! Извините за такую набивку, выворачивался, как мог.
